Matemàtiques. Lliurament 10. Solucions

Solució_L10ACR1_tramesa_10è_lliurament

1a

1b  P(plogui el cap de setmana) = P(Plogui dissabte o diumenge) = 1- P(no plogui dissabte i no plogui diumenge) = 

La probabilitat que plogui el cap de setmana és de 0,75 o equivalentment del 75%.

1c)  P(no plogui el cap de setmana) = P(No Plogui dissabte i No plogui el diumenge) =  

       La probabilitat que no plogui el cap de setmana és de 0,25 o equivalentment del 25%.

2a

2b  P(Plogui el cap de setmana)= 1- P(no plogui dissabte i no plogui diumenge) = 

     La probabilitat que plogui el cap de setmana és de 0,95 o equivalentment del 95%.

2c)  P(No Plogui el cap de setmana) =P(no plogui dissabte i no plogui diumenge) = 

Per tant com la probabilitat que no plogui el cap de setmana és de 0,05 o equivalentment del 5%.

2d) P(Només plogui 1 dia) = P(Plogui dissabte i no diumenge) + P(no plogui dissabte i sí diumenge) = 

La probabilitat que només plogui 1 dia és 0,35 o equivalentment el 35%.

3a  P(plogui algun dia dels tres ) = 

      La probabilitat que plogui algun dels tres dies és 0,95 o equivalentment el 95%.

Matemàtiques. Lliurament 9. Solucions.

Solució_L9ACR1_tramesa_9è_lliurament

Exercici 1 (3 punts)

Solució :

a) Equació de la recta de regressió d'Y sobre X : 

 

b) Per estimar el temps invertit per a x=76 pulsacions, basta fer una substitució en la recta de regressió:

y = 0.5 · (76) - 22 = 16 minuts

Resposta : S'estima que l'atleta amb 76 pulsacions farà la cursa en 16 minuts.

----------------------------------------------------------------------- 

Exercici 2. (7 punts)

Solució: 

X = Despeses en publicitat d'una empresa 

Y= Beneficis de l'empresa en uns determinats anys.

2.1

	X	Y	freq.    absoluta     ni	x2·ni	y2·ni	x·y·ni
	70	33	1	4900	1089	2310
	75	45	1	5625	2025	3375
	80	50	1	6400	2500	4000
	90	65	1	8100	4225	5850
	104	67	1	10816	4489	6968
totals	419	260	n=5	35841	14328	22503

2.2 Calculeu la mitjana aritmètica de X, i la mitjana aritmètica de Y

2.3 Calculeu la variància de X i de Y  (Millor usar la fórmula més breu  )

2.4 Calculeu la desviació estàndard de X i la de Y

2.5  Calculeu la covariància de XY

2.6 Calculeu "r"  Coeficient de Correlació de Pearson

2.7. Podem afirmar que les dues variables estan correlacionades linealment, i que aquesta correlació és forta?. Justifiqueu aquesta resposta en relació al valor de "r" que heu obtingut en l'apartat anterior.

Donat que "r" és molt proper a 1, les dues variables estan fortament relacionades, i de forma directa. Podem estimar que a més despesa en publicitat més beneficis es poden obtenir.

Matemàtiques. Lliurament 8. Solucions.

Solució Tramesa 8è lliurament

ENUNCIAT Exercici 1 (2,5p) Calcula la derivada de la funció:         Exercici 2 (3,5p) Considera la funció:      Es demana (cal que escriguis tots els càlculs): a)(0,5) Calcula f(-1) b)(1p) Calcula la funció derivada. c)(1p) Calcula f '(-1) d)(1p) Troba la recta tangent a la funció en el punt x=-1, recorda que la recta tangent d'una funció en el punt a és:  i escriu-la en la seva forma explícita. Exercici 3 (4p) Donada la funció :   Es demana: a)(1p) Calcula la derivada b)(1p) Calcula els valors on s'anul·la la derivada (és a dir, els valors on la derivada és zero). c)(2p) Justifica quins són els extrems (màxims o mínims de la funció), cal que diguis si són màxims o mínims i donis les dues coordenades (x i y).

Exercici 1

La derivada de la funció 

---

Exercici 2

a) 

b) Funció derivada

c) f '(-1)  es calcula substituint x=-1 en la funció f '(x)

  que correspon al pendent de la recta tangent. I que necessitem pel següent apartat.

d) Recta tangent a la funció en el punt x=-1

y - f(-1) = f '(-1)·(x+1)

y - 8 = -1·(x+1)

y = - x + 7

---

Exercici 3

a) La derivada de la funció 

b) Els valors on s'anul·la la derivada són:

Resolem aquesta equació de segon grau i obtenim  i 

c) Aquests valors obtinguts en l'apartat anterior són els possibles màxims i mínims de la funció.

La funció és polinòmica i per tant és una funció contínua. No hi ha punts de discontinuïtat.

Així doncs els intervals on estudiarem el creixement i decreixement  seran (-∞,0) (0,1) (1,+∞)

Intervals	signe de la derivada f'	f(x) és...
(-∞,0)	+	f(x) és creixent
(0,1)	-	f(x) és decreixent
(1,+∞)	+	f(x) és creixent

En l'interval (-∞,0) prenem el valor x = -1,(es pot prendre un altre valor) i calculem el signe de f '(-1) = 12 + 12 = + → f' és positiva →f(x) és creixent

En l'interval (0,1) prenem el valor x = 0.5 i calculem el signe de f '(0.5)= 3 -  6= - → f ' és negativa →f(x) és decreixent

En l'interval (1,+∞) prenem el valor x = 2 i calculem el signe de f '(2) = + → f ' és positiva →f(x) és creixent

Tot i que no ens demana l'enunciat del problema els intervals de creixement , aquest són importants per tal de saber quin valor es màxim o mínim.

En x=0 la funció passa de creixent a decreixent, per tant en x=0 hi ha un màxim

En x=1 la funció passa de decreixent a creixent, per tant en x=1 hi ha un mínim

Cal trobar les imatges.

Per a x=0  →f (0) = 4 ·0³ - 6 · (0)² = 0   El punt (0,0) és màxim

Per a x=1 →f (1) =4 ·(1)³ - 6 · (1)² = - 2  El punt (1,-2) és mínim

Tot i que en la tasca no es demanava, aquí teniu la gràfica de la funció que hem fet amb la calculadora wiris ():

Hem obert la calculadora .

Hem escrit aquestes tres sentencies :

 representa (f)

I hem clicat al símbol = que apareix en vermell. I la calculadora ens ha calculat la derivada i ens ha fet el gràfic de la funció on surt el màxim i el mínim.

Matemàtiques. Lliurament 7. Solucions

Solució Tasca 7è lliurament

Exercici 1.

a) Observant la gràfica, les imatges demanades són:

f(1) = 4

f(2) = 0 

f(0.5) = 2.7 aproximadament

b) Punts de tall de la funció amb l'eix X són:

(0  ,  0)   (2  ,  0)    

c) Punt de tall de la funció amb l'eix Y és: 

(0  ,  0)

d) Les coordenades del màxim i dels mínims relatius de la funció

màxim    (1  ,  4)  

mínims    (0  ,  0)   i     (2  ,  0)

                e) Interval de Creixement (0,1) U (2, +∞)  i Intervals de decreixement (-∞,0) U (1,2)

--------------------------------------------------------------------------

Exercici 2.

• a) Calculeu el domini de la funció f(x).

Cal estudiar cada una de les dues parts de la funció per separat i també els punts de transició d'una funció a l'altra.

Part I	Part II	Punt de transició entre la part I i la II
g(x) és una funció polinòmica de 1r grau És una recta No cal fer res	p(x) és una funció polinòmica de 2n grau És una  paràbola         No cal fer res	En el punt x=2 hi ha imatge f(2) =  2 2 - 1 = 3
Dom g(x) =  Reals	Dom p(x) =  Reals	x=2 és del domini

Per tant  Dom f(x) = Reals

• b) Estudia la continuïtat de la funció en x= 2 i en cas que la funció sigui discontínua, digues de quin tipus.

Recordeu que una funció és contínua en un punt x_{0  :}

Estudiarem el comportament de la funció en x=2

	A l'esquerra de 2 li correspon la funció de la part I
	A a dreta de 2 li correspon la funció de la part II

Per tal que els tres valors coincideixen,  cal que     2a+1 = 3 → a= 1

Per tant la funció serà contínua per a=1 i discontínua si a≠1

• c) Calcula

• d) Calcula

• e) Calculeu les imatges de x=-1 de x=1 i de x=3 i  "a" pren el valor obtingut en l'apartat b

f(-1) = a(-1)+1=1(-1)+1=0

f(1)  = a(1)+1=1(1)+1=2

f(3)  = (3)²-1=8

• f)

Si ara a=0 la funció és :

Per saber quina és la gràfica correcta podem fer alguns càlculs com ara f(0) f(1) o altres valors

f(0) =  1     

f(1) = 1

f(3) = 8

Ara mirem quina gràfica compleix amb aquestes condicions. Solament gràfica 2, per tant no cal seguir.

Resposta, la gràfica que correspon a la funció és la gràfica 2

Matemàtiques. Lliurament 6. Solucions

Solució Tramesa lliurament 6

Exercici 1.- (6 punts) Donats els punts A = (0,3),  B = (2,4)  i  C = (-1,-3),  es demana: a) Trobeu les components dels  vectors  i representeu-los en uns eixos de coordenades. b) Trobeu l'equació contínua i la general de la recta r que passa per A i B c) Trobar raonadament l’equació general de la recta s, paral·lela a r, que passa per C d) Trobar raonadament l’equació general de la recta t, perpendicular a r, que passa per C. e) Calculeu la distància del punt C a la recta r f) Calculeu l'angle que formen els dos vectors  --------------------------------------------------------------------------------------- Exercici 2.- (4 punts) Considera els nombres complexos:         a) Escriu el nombre z2 en forma binòmica. b) Calcula el resultat de l'operació : 2·z1 – z2 en forma binòmica.

Exercici 1

• a)

 

• b) Equació contínua de la recta r :

Equació general de la recta r :

En l'equació contínua anterior al multiplicar cada part de l'equació per 2 i simplificar, aconseguirem treure denominadors :

x - 0 = 2y - 6

i passant tot a la dreta queda: 

x -2y + 6 = 0

• c) Equació general de la recta   paral·lela a  r que passa per C

Les rectes paral·leles a  han de tenir el mateix vector director o proporcional. Per tant el vector director de és (2,1) i el punt pel que passa és C(-1,-3)

L'equació contínua de  és:

Traient denominadors i arreglant obtenim l'equació general de  s

x- 2y -5 = 0

• d) Equació general de la recta  t  perpendicular a r, que passa per C(-1,-3).

La recta t ha de tenir el vector director perpendicular al de r.

Com el vector de r és =(2,1)  , el vector perpendicular pot ser (1,-2)

La recta ha de passar per C(-1,-3)

L'equació contínua de t és:

Traient denominadors i arreglant obtenim l'equació general de  t

2x + y + 5 = 0 

• e) Calculeu la distància del punt C a la recta  r:

• f) Calculeu l'angle que formen els dos vectors 

Quin angle formen els vectors    essent  ?

Com en coneixem les components podem calcular-ne el producte escalar i després el cosinus:

De la fórmula del producte escalar  següent:

podem aïllar el cosinus de l'angle i queda :

Que aplicat a les dades del problema queda així:

 Ara amb la calculadora busquem quin angle té per cosinus -0,588 (recordeu que això a la majoria de les calculadores es fa SHIFT COS -0,588 =

Obtenim α =126⁰

Exercici 2

• a) Escriu el nombre z₂ en forma binòmica. 

z₂=3_90^º  

a= 3 · cos (90º) = 0

b= 3 · sin (90º) = 3

z₂ = 0+3i = 3i

• b) Calcula el resultat de l'operació : 2·z₁ – z₂ en forma binòmica.

2·z₁ – z₂ = 2 · (-10+11i) - 3i =-20 + 22i- 3i=-20 + 19i