Matemàtiques. Lliurament 3. Resum conceptes bàsics del Lliurament 3

Resum conceptes bàsics del Lliurament 3

1 Monomis i polinomis

MONOMIS

Són expressions algebraiques formades pel producte d'un nombre per una o diverses lletres.

El nombre s'anomena coeficient i les lletres part literal. El grau d'un mononomi serà la suma dels exponents de les lletres.

Dos monomis es diuen semblants si tenen la mateixa part literal (lletres i exponents).

Aclariments:

• • No escrivim el símbol de multiplicar. Així posem 2xy² en lloc de 2·x·y²
  • No es posa l'exponent 1, així per exemple en lloc de posa x¹ posarem senzillament x
  • Tampoc posem el coeficient 1 davant de la part literal, així per exemple en lloc de posar 1xy posarem només xy.
  • Quan el coeficient és -1 habitualment posem només el signe, sense l'1. Així diríem -y en lloc de -1y.
  • Els nombres es poden considerar monomis de grau 0 (és com si la part literal estès elevada a 0).

MONOMI	COEFICIENT	PART LITERAL	GRAU
-2x2	-2	x2	2
5xy4	5	xy4	5
-xy3	-1	xy3	4
y	1	y	1

POLINOMIS

Li direm polinomi a la suma o resta de monomis no semblants. Cada un dels monomis que el formen li direm termes. El grau d'un polinomi és el grau més alt del termes que el formen. Al terme de grau zero li direm terme independent.

POLINOMI	NOMBRE DE TERMES	TERME INDEPENDENT	GRAU
2x4-3x+1	3	1	4
5x+4	2	4	1
3	1	3	0
x7-x6+5x3	3	0	7

2 Operacions amb polinomis

SUMA i RESTA DE MONOMIS

Només podrem sumar o restar monomis semblants. Per fer-ho sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part literal

Exemples:

SUMA i RESTA DE POLINOMIS

Per sumar dos polinomis P(x)+Q(x), sumem els seus termes semblants (és a dir del mateix grau).

Restar dos polinomis equival a sumar al primer l'oposat del segon. P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))

Exemples

Siguin 

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE MONOMIS

Per multiplicar dos monomis es multipliquen els coeficients i es sumen els exponents.

Per dividir dos monomis es divideixen els coeficients i es resten els exponents. (Cal que el grau del dividend sigui més gran o igual al del divisor). Si la divisió dels coeficients no és exacte es deixa el resultat en forma de fracció.

Exemples :

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE POLINOMIS

Per multiplicar dos polinomis, cada monomi del primer multiplica a tots els termes del segon. El resultat s'ha de simplificar.

Exemple:

ara multipliquem cada terme del primer polinomi per tots els termes del segon

= 

finalment sumem els termes semblants per reduir l'expressió

La divisió de dos polinomis verifica sempre aquesta igualtat amb el grau del residu més petit que el grau del divisor.

Dividend = Divisor · Quocient + Residu

A(x)= B(x)·Q(x)+R(x) i sempre grau (R(x))<grau (B(x))

Si el residu és 0 A(x)= B(x)·Q(x) diem que la divisió és exacte, també diem que A(x) és múltiple de B(x) o bé que B(x) és divisor de A(x)

Mirar els exemples del llibre (pàgines 93-96)

Quan el divisor és de tipus  amb a un nombre qualsevol, tindrem un mètode més còmode per fer la divisió: el mètode de Ruffini que comentarem més endavant.

3 Igualtats notables

Per fer potències de binomis cal tenir ben present les igualtats notables.

Recordem que en tenim tres:

Quadrat d'una suma Quadrat d'una resta  Suma per diferència

Aplicació en el cas de polinomis, cal simplificar al final:

•  caldrà aplicar la fórmula del quadrat d'una suma amb la a=x i la b=5 , llavors queda:

• caldrà aplicar la fórmula del quadrat d'una resta amb a=3 i b=x , llavors queda:

•  caldrà aplicar la fórmula de suma per diferència amb a=4 i b=x, llavors queda

Per elevar un binomi a una potència major, 3, 4, etc haurem d'aplicar la fórmula del binomi de Newton i ens podrem ajudar del triangle de Tartaglia (pàgina 99 del llibre de referència).

4 Regla de Ruffini

REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini és un procediment senzill i molt mecànic per dividir polinomis però únicament quan el divisor és de tipus x-a o x+a , amb a un nombre real.

Apliquem la regla amb un exemple:

Suposem que volem dividir 2x³ + 4x² - 3 per x - 5

Primer de tot col·locarem els coeficients del dividend començant pel de grau més gran a l'esquerra i vigilant de posar un 0 si el polinomi no és complet, per exemple ara posarem un 0 allà on tocaria posar el coeficient de grau 1. A la segona fila a l'esquerra posem el terme independent del divisor canviat de signe, en aquest cas un 5 perquè anem a dividir per x-5.

Atenció! si anéssim a dividir per x + 5 posaríem -5

	2	4	0	-3
5

Completarem la fila tercera de d'esquerra a dreta seguint aquests passos

Baixem el primer coeficient del dividend (2)

Multipliquem aquest terme pel terme que hem posat a baix a l'esquerra (5) , posem el resultat a sota del següent coeficient del dividend i ho sumem.

Procedim de la mateixa manera per totes les caselles

Un cop acabat el procediment ja tenim el quocient i el residu de la divisió a la fila inferior.

	2	4	0	-3
5		10	70	350
	2	14	70	347

El terme de la dreta correspon al residu i els altres termes corresponen al quocient (vigilar els graus)

QUOCIENT : 2x² + 14x + 70 i el RESIDU: 347

Tenim per tant la següent igualtat: 2x³ + 4x² - 3 = ( x - 5) ·( 2x² + 14x + 70 ) + 347

5 Valor numèric i Teorema del Residu

VALOR NUMÈRIC D'UN POLINOMI

El valor numèric d'un polinomi P(x) quan x=a és el valor que s'obté en substituir la x pel valor a i fer-ne les operacions que queden indicades.Aquest valor numèric l'indicarem per P(a).

Exemples:

P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1

El valor numèric de P(x) per x=1 es calcula:

P(1)=1⁴ -3·1³ - 2·1 + 1= 1-3-2+1=2-5= -3

El valor numèric de P(x) per x= - 1 es calcula:

P(-1)=(-1)⁴ -3·(-1)³ - 2·(-1 )+ 1= 1-3·(-1)+2+1=1+3+2+1= 7

TEOREMA DEL RESIDU

El valor numèric de P(x) quan x=a coincideix amb el residu que s'obté en dividir P(x) per x-a.

P(a)= Residu de dividir P(x) per (x-a)

Justificació: En dividir P(x) entre x-a el residu serà un nombre (recordem que el grau del residu sempre és menor que el del divisor)

Si li diem Q(x) i R al quocient i residu d'efectuar la divisió, tenim la següent igualtat

P(x)= (x-a)·Q(x)+R Si ara substituïm la x per calcular el valor numèric tenim:

P(a)=(a-a)·Q(a)+R= 0·Q(a)+R= R

Aquest teorema per tant ens proporciona una nova manera de calcular el valor numèric d'un polinomi.

El residu el podem calcular fent la divisió clàssica o pel mètode de Ruffini.

Atenció: El residu de dividir un polinomi per (x+a) equival a P(-a).

Exemple:

Donat el polinomi P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1 de l'exemple anterior calculem P(1) utilitzant el teorema del Residu.

Col·loquem els coeficients per aplicar Ruffini i a l'esquerra posem 1 perquè anem a dividir per x-1 i apliquem l'algoritme

	1	-3	0	-2	1
1		1	-2	-2	-4
	1	-2	-2	-4	-3

El terme de la dreta de la darrera fila és el residu, per tant podem afirmar P(1)= -3

6 Arrels d'un polinomi.

ARRELS D'UN POLINOMI

Un nombre real a és arrel d'un polinomi P(x) si el valor numèric de P(x) per x=a és 0. És a dir P(a)=0.

Les arrels d'un polinomi són per tant les solucions de l'equació que s'obté en igualar a 0 el polinomi. P(x)=0.

Si a és arrel d'un polinomi podem dir tres coses equivalents:

• • a és arrel de P(x)
  • P(x) és múltiple de (x-a)
  • (x-a) és divisor de P(x)

Si a és arrel de P(x), aquest polinomi es pot expressar com : P(x)=(x-a)·Q(x) per cert polinomi Q(x).

COM CALCULAR LES ARRELS D'UN POLINOMI?

• Polinomis de grau 1. Tenen una única arrel. Per trobar-la només cal igualar el polinomi a 0 i aïllar la x.

Exemple: P(x)=2x+5 igualem el polinomi a 0

2x+5=0 aïllem la x----->2x=-5----->x=-5/2. Per tant l'arrel de 2x+5 és -5/2.

• Polinomis de grau 2. Poden tenir 2 arrels reals o ninguna. Per calcular-les resolem l'equació de segon grau que surt en igualar a 0 el polinomi.
  Si el discriminant Δ és positiu tenim dues arrels diferents
  Si el discriminant Δ és 0 tenim que les dues arrels són iguals
  Si el discriminant Δ és negatiu el polinomi no té arrels reals.
  
  Exemple: P(x)= x² + 3x + 2
  Δ=b² - 4·a·c= 3²-4·1·2=9-8=1 en ser positiu tenim 2 arrels reals.
  
  x₁=( -b +√(b²-4·a·c))/2·a=(-3 + √1)/2=(-3+1)/2=-2/2=-1
  x₂=( -b - √(b²-4·a·c))/2·a=(-3 - √1)/2=(-3-1)/2=-4/2=-2
  
  El polinomi té les arrels -1 i -2

• Polinomis de grau superior a 2. No tenim cap mètode senzill per trobar les arrels de polinomis de grau major que dos, per tant ens limitarem a buscar-les en casos fàcils.
  -Un polinomi de grau n tindrà com a màxim n arrels reals.
  -Si té arrels enteres (no necessàriament en té) aquestes han de dividir el terme independent del polinomi.
  
  Per tant farem servir el següent mecanisme:
  -Buscarem els divisors del terme independent
  -Provarem per Ruffini si són arrels del polinomi, és a dir si el residu dóna 0.
  -Truc: si el polinomi té tots els coeficients positius segur que no té cap arrel positiva, per tant no caldria provar-les.
  
  
  Exemple: Calcular les arrels del polinomi P(x)=x³ - 2x² - 13x -10.
  
  Com el polinomi té grau 3 sabem que com a màxim tindrà tres arrels i que si té arrels enteres aquestes han de dividir a -10.
  Els divisors de -10 són : +1, -1, +2, -2, +5, -5
  Provem aquests valors per Ruffini:
  Comencem per +1

	1	-2	-13	-10
1		1	-1	-14
	1	-1	-14	-24

Com el residu no és zero, +1 no és arrel del polinomi.

Provem per -1

	1	-2	-13	-10
-1		-1	3	10
	1	-3	-10	0

Com el residu és zero : -1 és arrel de P(x).

Si seguim provant pels altres valors observarem que les altres dues arrels són -2 i 5.

7 Factorització d'un polinomi

FACTORITZACIÓ D'UN POLINOMI

Factoritzar un polinomi consisteix en escriure'l com a producte de polinomis de grau més petit. (Intentarem que sigui el grau més petit possible).

Per exemple la factorització de P(x)= x³ - 2x² -13x -10 és (x+1)·(x+2)·(x-5).

Per realitzar la factorització d'un polinomi, tindrem en compte els mètodes següents (mirar també els exemples del llibre de referència pàgines (104-112)):

• • Treure factor comú si tots els coeficients són múltiples del mateix nombre o monomi.

Exemple: P(x)= 2x⁴-4x³+6x= 2x · (x³-2x²+3)

• • Identificació del polinomi amb una identitat notable

Exemple: P(x)=x⁴-8x²+16=(x²-4)²

• • Buscar els divisors de la forma (x-a) aplicant Ruffini pel valor a, és a dir buscar les arrels

Exemple : Factoritzar el polinomi P(x) = x⁴- 8x³+ 11x² + 32x - 60

• • • • Divisors del terme independent D(60) = {±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60}
      • S'aplica Ruffini per cada divisor, i triem els divisors que donen residu "0".
      • A cada divisor que compleix amb aquesta condició del residu li correspon un factor en la descomposició i podem continuar aplicant Ruffini a partir del polinomi que ens ha quedat com a quocient.

	1	-8	11	32	-60
2		2	-12	-2	60
	1	-6	-1	30	0
-2		-2	16	-30
	1	-8	15	0
3		3	-15
	1	-5	0

Per tant, es pot posar: P(x) = x⁴- 8x³+ 11x² + 32x - 60= (x-2) ·(x+2)·(x-3)·(x-5) 

Observacions: Recordem que un cop arribem a un polinomi de grau dos ja tenim na fórmula per trobar les arrels i això pot resultar més ràpid en ocasions que provar per Ruffini.

ARRELS D'UN POLINOMI FACTORITZAT

Un cop tenim el polinomi factoritzat les arrels del polinomi són els valors que anul·len cada factor, per tant caldrà igualar a zero cada factor.

Així seguint l'exemple anterior, el polinomi (x-2) ·(x+2)·(x-3)·(x-5) té les arrels 2, -2, 3 i 5 ja que

x - 2 = 0------> x = 2

x + 2 = 0------>x = -2

x - 3 = 0 ------> x = 3

x - 5 = 0 ------> x = 5

ORDRE DE MULTIPLICITAT D'UNA ARREL

Si un factor (x-a) es repeteix n vegades a la factorització apareixerà amb potència (x-a)ⁿ llavors direm que a és una arrel del polinomi d'ordre o multiplicitat n. És a dir té l'arrel repetida n vegades.

Exemple:

P(x)= (x+1)²(x-6) té l'arrel -1 amb multiplicitat 2 i l'arrel 6.

7 Factorització d'un polinomi

7.1 Factorització i arrels, model d'exercici

EXERCICI

Donat el polinomi   factoritza'l al màxim, és a dir escriu-lo com a producte de factors de grau 1. Aprofita després la factorització obtinguda per trobar-ne les tres arrels.

Ho farem de dues maneres:

FORMA 1

Com aquest polinomi no té factors comuns ni tampoc es tracta de cap igualtat notable començarem buscant factors de tipus (x-a) aplicant Ruffini amb el valor a. (això equival a trobar les arrels).

És a dir dividirem el polinomi per (x-a) si el residu dóna 0, voldrà dir que té el factor (x-a), si el residu no dóna 0, en buscarem un altre.

Comencem provant els valors enters que han de ser divisors del terme independent del polinomi.

Com en aquest cas és un -2 els seus divisors són {+1, -1, +2, -2} aquestes són les úniques possibles arrels enteres del polinomi.

Comencem provant per 1

	3	4	-5	-2
1		3	7	2
	3	7	2	0

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

 observem que els coeficients del segon factor es corresponen amb els que hem obtingut com a quocient del Ruffini.

Cal continuar perquè encara tenim un factor de grau dos. Seguirem aplicant Ruffini al segon factor. Provem pel valor -2 (al quadern pots provar els altres i veuràs que no donen residu 0)

	3	7	2
-2		-6	-2
	3	1	0

Tenim un altre factor i de fet ja estem perquè en el quocient de Ruffini ens queda el tercer factor que busquem.

Un cop tenim els tres factors de grau 1, aprofitem la factorització per trobar les tres arrels que seran els valors que anulen cadascun dels tres factors.

---

FORMA 2

La primera part la faríem exactament igual, és a dir buscaríem un primer factor de tipus (x-a) i provaríem pels divisors de -2 concretament comencem per 1

	3	4	-5	-2
1		3	7	2
	3	7	2	0

Com hem obtingut residu 0, vol dir que (x-1) és un factor i per tant de moment ja sabem que el polinomi P(x) es pots escriure així:

Arribat aquest punt en lloc de continuar fent Ruffini podem treballar directament amb el factor de grau 2 que hem obtingut. Li buscarem les arrels i cada arrel ens donarà un factor de tipus (x-arrel)

Apliquem la fórmula de resolució de les equacions de segon grau per a resoldre  . Per tant a=3 , b= 7 i c=2

I ara cal  vigilar.

Tenim l' arrel -2 , per tant tenim el factor 

Com també tenim l'arrel  , tindrem el factor 

Finalment escrivim el polinomi factoritzat així 

Observeu que en aquest cas ha calgut posar un 3 davant perquè el polinomi inicial té un 3 en el  coeficient de grau màxim.

Fixeu-vos també que  que és el factor que ens havia sortit en el primer mètode, qualsevol dels dos factors és correcte, perquè té grau 1.

Les arrels ja les tenim, .

8 Fraccions algebraiques

FRACCIONS ALGEBRAIQUES

Una fracció algebraica és el quocient de dos polinomis P(x) i Q(x), amb Q(x)≠0

Les operacions amb fraccions algebraiques s'assemblen a les operacions amb fraccions numèriques.

FRACCIONS EQUIVALENTS

de forma anàloga al que passa amb fraccions numèriques.

Exemple:

Son equivalents les dues fraccions algebraiques següents?

Si apliquem la definició de fraccions algebraiques equivalents caldria comprovar que :

Ho comprovem:

Per tant són equivalents.

Tot i això hagués estat més fàcil simplificar la fracció algebraica de la dreta i comprovar que donava exactament la fracció de l'esquerra.

SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS

Per simplificar una fracció algebraica cal dividir numerador i denominador pel mateix factor, fins obtenir una fracció irreductible.

Prèviament cal factoritzar cada polinomi i simplificar els factors comuns.

Exemple:

Simplifica la fracció algebraica:

Cal factoritzar els polinomis : 

i queda :

Observem que podem dividir numerador i denominador per (x-2)

per tant la fracció simplificada seria: