Matemàtiques. Lliurament 6. Solucions

Solució Tramesa lliurament 6

Exercici 1.- (6 punts) Donats els punts A = (0,3),  B = (2,4)  i  C = (-1,-3),  es demana: a) Trobeu les components dels  vectors  i representeu-los en uns eixos de coordenades. b) Trobeu l'equació contínua i la general de la recta r que passa per A i B c) Trobar raonadament l’equació general de la recta s, paral·lela a r, que passa per C d) Trobar raonadament l’equació general de la recta t, perpendicular a r, que passa per C. e) Calculeu la distància del punt C a la recta r f) Calculeu l'angle que formen els dos vectors  --------------------------------------------------------------------------------------- Exercici 2.- (4 punts) Considera els nombres complexos:         a) Escriu el nombre z2 en forma binòmica. b) Calcula el resultat de l'operació : 2·z1 – z2 en forma binòmica.

Exercici 1

• a)

 

• b) Equació contínua de la recta r :

Equació general de la recta r :

En l'equació contínua anterior al multiplicar cada part de l'equació per 2 i simplificar, aconseguirem treure denominadors :

x - 0 = 2y - 6

i passant tot a la dreta queda: 

x -2y + 6 = 0

• c) Equació general de la recta   paral·lela a  r que passa per C

Les rectes paral·leles a  han de tenir el mateix vector director o proporcional. Per tant el vector director de és (2,1) i el punt pel que passa és C(-1,-3)

L'equació contínua de  és:

Traient denominadors i arreglant obtenim l'equació general de  s

x- 2y -5 = 0

• d) Equació general de la recta  t  perpendicular a r, que passa per C(-1,-3).

La recta t ha de tenir el vector director perpendicular al de r.

Com el vector de r és =(2,1)  , el vector perpendicular pot ser (1,-2)

La recta ha de passar per C(-1,-3)

L'equació contínua de t és:

Traient denominadors i arreglant obtenim l'equació general de  t

2x + y + 5 = 0 

• e) Calculeu la distància del punt C a la recta  r:

• f) Calculeu l'angle que formen els dos vectors 

Quin angle formen els vectors    essent  ?

Com en coneixem les components podem calcular-ne el producte escalar i després el cosinus:

De la fórmula del producte escalar  següent:

podem aïllar el cosinus de l'angle i queda :

Que aplicat a les dades del problema queda així:

 Ara amb la calculadora busquem quin angle té per cosinus -0,588 (recordeu que això a la majoria de les calculadores es fa SHIFT COS -0,588 =

Obtenim α =126⁰

Exercici 2

• a) Escriu el nombre z₂ en forma binòmica. 

z₂=3_90^º  

a= 3 · cos (90º) = 0

b= 3 · sin (90º) = 3

z₂ = 0+3i = 3i

• b) Calcula el resultat de l'operació : 2·z₁ – z₂ en forma binòmica.

2·z₁ – z₂ = 2 · (-10+11i) - 3i =-20 + 22i- 3i=-20 + 19i