Matemàtiques. Lliurament 8. Solucions.

Solució Tramesa 8è lliurament

ENUNCIAT Exercici 1 (2,5p) Calcula la derivada de la funció:         Exercici 2 (3,5p) Considera la funció:      Es demana (cal que escriguis tots els càlculs): a)(0,5) Calcula f(-1) b)(1p) Calcula la funció derivada. c)(1p) Calcula f '(-1) d)(1p) Troba la recta tangent a la funció en el punt x=-1, recorda que la recta tangent d'una funció en el punt a és:  i escriu-la en la seva forma explícita. Exercici 3 (4p) Donada la funció :   Es demana: a)(1p) Calcula la derivada b)(1p) Calcula els valors on s'anul·la la derivada (és a dir, els valors on la derivada és zero). c)(2p) Justifica quins són els extrems (màxims o mínims de la funció), cal que diguis si són màxims o mínims i donis les dues coordenades (x i y).

Exercici 1

La derivada de la funció 

---

Exercici 2

a) 

b) Funció derivada

c) f '(-1)  es calcula substituint x=-1 en la funció f '(x)

  que correspon al pendent de la recta tangent. I que necessitem pel següent apartat.

d) Recta tangent a la funció en el punt x=-1

y - f(-1) = f '(-1)·(x+1)

y - 8 = -1·(x+1)

y = - x + 7

---

Exercici 3

a) La derivada de la funció 

b) Els valors on s'anul·la la derivada són:

Resolem aquesta equació de segon grau i obtenim  i 

c) Aquests valors obtinguts en l'apartat anterior són els possibles màxims i mínims de la funció.

La funció és polinòmica i per tant és una funció contínua. No hi ha punts de discontinuïtat.

Així doncs els intervals on estudiarem el creixement i decreixement  seran (-∞,0) (0,1) (1,+∞)

Intervals	signe de la derivada f'	f(x) és...
(-∞,0)	+	f(x) és creixent
(0,1)	-	f(x) és decreixent
(1,+∞)	+	f(x) és creixent

En l'interval (-∞,0) prenem el valor x = -1,(es pot prendre un altre valor) i calculem el signe de f '(-1) = 12 + 12 = + → f' és positiva →f(x) és creixent

En l'interval (0,1) prenem el valor x = 0.5 i calculem el signe de f '(0.5)= 3 -  6= - → f ' és negativa →f(x) és decreixent

En l'interval (1,+∞) prenem el valor x = 2 i calculem el signe de f '(2) = + → f ' és positiva →f(x) és creixent

Tot i que no ens demana l'enunciat del problema els intervals de creixement , aquest són importants per tal de saber quin valor es màxim o mínim.

En x=0 la funció passa de creixent a decreixent, per tant en x=0 hi ha un màxim

En x=1 la funció passa de decreixent a creixent, per tant en x=1 hi ha un mínim

Cal trobar les imatges.

Per a x=0  →f (0) = 4 ·0³ - 6 · (0)² = 0   El punt (0,0) és màxim

Per a x=1 →f (1) =4 ·(1)³ - 6 · (1)² = - 2  El punt (1,-2) és mínim

Tot i que en la tasca no es demanava, aquí teniu la gràfica de la funció que hem fet amb la calculadora wiris ():

Hem obert la calculadora .

Hem escrit aquestes tres sentencies :

 representa (f)

I hem clicat al símbol = que apareix en vermell. I la calculadora ens ha calculat la derivada i ens ha fet el gràfic de la funció on surt el màxim i el mínim.